(Курс чистой математики, Г.Г. Харди, Глава 9, Пар. 207)
Легко найти ряд функций, которые стремятся к бесконечности при \(x \to
\infty\) всё медленнее и медленнее. Таким рядом функция является,
например, \(\sqrt{x}, \sqrt[3]{x}, \sqrt[4]{x}, ...\) Мы можем, вообще,
приписать функции $$x^\alpha$$ где \(\alpha\) - любое положительное
рациональное число, порядок роста \(\alpha\) при $${x \to \infty}$$ Мы
можем также предположить \(\alpha\) как угодно малым, например, меньшим
\(0,00000001\). Можно подумать, что придавая \(\alpha\) все возможные
значения мы исчерпаем все возможные порядки роста \(f(x)\). Во всяком
случае можно было бы предполагать, что как бы медленно \(f(x)\) ни
стримилась к бесконечности с возрастанием \(x\), мы всегда сможем
подобрать настолько малое значение \(\alpha\), что \(x^\alpha\) будет
стремиться к бесконечности ещё медленнее; и, аналогично, что как бы
быстро \(f(x)\) ни стремилась к бесконечности с возрастанием \(x\),
всегда можно подобрать настолько большое значение \(\alpha\), что
\(x^\alpha\) будет стремиться к бесконечности ещё быстрее.
Поведение \(lnx\) опровергает все такие предположения.
Логарифм от \(x\) стремится к бесконечности при возрастании \(x\), но
стремится медленнеечем любая положительная, целочистенная или
рациональная степень \(x\).
Другими словами, \(lnx \to \infty\), но \({lnx \over x^\alpha} \to 0\)
при любом положительном рациональном \(\alpha\).
Пусть \(\beta\) - любое положительное рациональное число. Тогда \(t^{(-1)} < t^{\beta - 1} для t > 1\) и, следовательно, $${ lnx = \int_1^x{dt \over t} < \int_1^x{dt \over{t^{1-\beta}}}}$$ так что $${lnx < {{x^\beta - 1} \over {\beta}} {< {x^\beta \over \beta} }}$$ для \(x > 1\). Если теперь \(\alpha\) положительно, то мы можем выбрать меньшее положительное \(\beta\), и тогда $${0 < {{lnx} \over {\alpha}} {< {x^{(\beta - \alpha)} \over \beta} }}$$ но \({x^{(\beta - \alpha)} \to 0}\) при \({x \to \infty (так \space как \beta < \alpha)}\) и поэтому \(x^{(-\alpha)}lnx \to 0\)